La Gamme de Pythagore — Enseignement Scientifique 1ère

01 Contexte historique

Pythagore de Samos (v. 580 – 495 av. J.-C.) et son école ont découvert que les sons musicaux harmonieux correspondent à des rapports simples de nombres entiers. En tendant des cordes de longueurs différentes, ils ont établi les premières bases mathématiques de la musique.

« Le nombre est la règle de toutes choses. » — Pythagore

L'observation fondatrice : une corde de longueur moitié produit un son à la fréquence double — c'est l'octave. La relation entre longueur de corde et fréquence : fréquence ∝ 1/longueur.

02 Principe de construction

La gamme pythagoricienne repose sur un seul intervalle générateur : la quinte pure, dont le rapport de fréquences est 3/2. En enchaînant des quintes successives, on génère toutes les notes de la gamme.

Les deux intervalles de base

Octave : f₂/f₁ = 2/1 | Quinte pure : f₂/f₁ = 3/2

      Méthode : On part d'une note de référence (Do, de fréquence f₀). On monte d'une quinte en multipliant par 3/2, puis on ramène dans l'octave en divisant par 2 si nécessaire. On répète 12 fois pour obtenir les 12 demi-tons de la gamme chromatique.
    

Le cycle des quintes

En enchaînant 12 quintes, on devrait revenir exactement à l'octave de départ. Mais (3/2)¹² ≠ 2⁷ :

(3/2)¹² = 531441 / 4096 ≈ 129,746 ≠ 2⁷ = 128

Cet écart s'appelle le comma pythagoricien. Il est d'environ 23,5 cents (un cent = 1/100 de demi-ton tempéré). C'est le « défaut » fondamental de la gamme pythagoricienne.

03 Les 8 notes de la gamme diatonique

En partant du Do (f₀), voici les fréquences des 7 notes (+ l'octave) calculées par rapport de quintes, ramenées dans le même octave :

#	Note	Nom solfège	Rapport f/f₀	Valeur décimale	Fréquence (Hz) si f₀ = 261,6 Hz
1	Do	Ut	1/1	1,000	261,6 Hz
2	Ré	Re	9/8	1,125	294,3 Hz
3	Mi	Mi	81/64	1,266	330,6 Hz
4	Fa	Fa	4/3	1,333	349,2 Hz
5	Sol	Sol	3/2	1,500	392,4 Hz
6	La	La	27/16	1,688	441,6 Hz
7	Si	Si	243/128	1,898	496,6 Hz
8	Do'	Ut (octave)	2/1	2,000	523,2 Hz

Visualisation des intervalles

Piano interactif — cliquez sur une touche

04 Les deux types de tons

Dans la gamme pythagoricienne, les intervalles entre notes consécutives ne sont pas tous identiques. On distingue :

🎵 Ton majeur (grand ton)

Rapport : 9/8 ≈ 1,125
Intervalles : Do→Ré, Ré→Mi, Fa→Sol, Sol→La, La→Si
5 tons majeurs dans la gamme

🎵 Demi-ton (limma)

Rapport : 256/243 ≈ 1,053
Intervalles : Mi→Fa et Si→Do'
2 demi-tons pythagoriciens

Structure : T T S T T T S (T = ton majeur, S = demi-ton)

05 Comparaison avec la gamme tempérée

La gamme égale tempérée (utilisée aujourd'hui dans la quasi-totalité des instruments) divise l'octave en 12 demi-tons égaux, chacun de rapport 2^(1/12) ≈ 1,0595.

Note	Rapport pythagoricien	Rapport tempéré	Écart (cents)
Do	1,000	1,000	0
Ré	1,125	1,122	+3,9
Mi	1,266	1,260	+7,8
Fa	1,333	1,335	−2,0
Sol	1,500	1,498	+2,0
La	1,688	1,682	+5,9
Si	1,898	1,888	+9,8
Do'	2,000	2,000	0

      Conclusion : Les écarts sont faibles (moins de 10 cents, soit moins de 1/10 de demi-ton), mais perceptibles pour les musiciens entraînés. La gamme pythagoricienne favorise des quintes très pures (rapport 3/2 exact), au détriment de certaines tierces.
    

À retenir

Principe fondateur : rapport de fréquences 3/2 pour la quinte pure, base de toute la construction.
Construction : enchaînement de 12 quintes, ramenées dans le même octave par division par 2.
Gamme diatonique : 7 notes + octave, avec structure T-T-S-T-T-T-S (ton/demi-ton).
Deux tons : ton majeur (9/8) et limma (256/243), qui ne sont pas égaux.
Comma pythagoricien : (3/2)¹² ≠ 2⁷, écart d'environ 23,5 cents — la limite du système.
Avantage : quintes parfaitement consonantes. Inconvénient : certaines tierces sont fausses, et on ne peut pas transposer librement.
Solution moderne : la gamme tempérée (Bach, XVIII^e s.) sacrifie la pureté des quintes pour obtenir 12 demi-tons égaux et permettre toutes les tonalités.