Physique, mathématiques et musique en harmonie
La gamme tempérée est un système d'accord musical qui divise l'octave en 12 demi-tons égaux. C'est le système utilisé dans la quasi-totalité de la musique occidentale moderne — pianos, guitares, orchestres, musique électronique.
Avant ce système, les musiciens utilisaient des accords dits naturels (ou pythagoriciens), fondés sur des rapports de fréquences entiers. Ces systèmes, bien que très purs pour certains intervalles, rendaient impossible de jouer dans toutes les tonalités sur un même instrument.
La gamme tempérée est un compromis mathématique : elle sacrifie la pureté acoustique parfaite de chaque intervalle au profit d'une égalité qui permet de jouer dans n'importe quelle tonalité avec le même instrument accordé.
Deux notes séparées d'une octave ont des fréquences dans un rapport de 2 : 1. C'est un phénomène physique fondamental : quand une corde vibre deux fois plus vite, on perçoit la même note "plus haute".
Fréquences arrondies — La₄ = 440 Hz (diapason international)
La gamme tempérée divise l'octave en 12 demi-tons égaux. Le passage d'un demi-ton au suivant correspond à une multiplication par un facteur constant r.
Puisque 12 demi-tons constituent une octave, et qu'une octave double la fréquence, on a :
Les fréquences des 13 notes (Do à Do) forment une suite géométrique de raison r = 21/12 :
fn = f0 × 2n/12
où n est le numéro du demi-ton (0 à 12), et f0 la fréquence de la note de référence.
En partant du La₄ = 440 Hz (référence internationale adoptée en 1939) :
| Note | Rang (n) | Calcul | Fréquence (Hz) | Visualisation |
|---|
La gamme de Do comprend 7 notes naturelles (Do Ré Mi Fa Sol La Si) séparées par des tons (2 demi-tons) et des demi-tons (1 demi-ton). Cette répartition irrégulière est ce qui donne à chaque gamme son caractère.
Dans la gamme majeure, les demi-tons naturels se trouvent entre Mi–Fa et Si–Do. Tous les autres intervalles consécutifs sont des tons entiers.
Un intervalle est la distance entre deux notes, mesurée en demi-tons. Plus le rapport de fréquences se rapproche d'un rapport de petits entiers, plus l'intervalle est perçu comme consonant (agréable, stable).
La consonance est liée aux harmoniques des sons. Quand deux notes jouées ensemble ont des harmoniques qui coïncident, leur superposition produit moins de battements — phénomènes de variation d'amplitude perçus comme des fluctuations sonores désagréables.
Quand deux sons de fréquences proches f₁ et f₂ sont superposés, on entend un son qui semble "palpiter" à la fréquence |f₁ − f₂|. Les accordeurs utilisent ce phénomène pour accorder les instruments.
Les grecs définissent les intervalles musicaux par des rapports de fréquences simples : l'octave (2:1), la quinte (3:2), la quarte (4:3). Ce système, pur pour ces intervalles, est difficile à étendre à toutes les tonalités.
Les facteurs d'orgues et de clavecins expérimentent différents tempéraments (répartitions des imperfections) pour permettre de jouer dans plusieurs tonalités sur un même instrument.
J.-S. Bach compose son Clavier bien tempéré, 48 préludes et fugues dans toutes les tonalités, démontrant les avantages du tempérament égal. L'œuvre est une plaidoirie musicale pour ce système.
Le tempérament égal s'impose progressivement avec l'industrialisation de la facture instrumentale, notamment pour le piano. L'harmonisation des orchestres impose une référence commune.
Une conférence internationale établit le La du diapason à 440 Hz comme référence universelle, unifiant l'accord des instruments à travers le monde.
Le La₄ est à 440 Hz. Calculer la fréquence du Do#₄, qui se trouve 3 demi-tons en dessous du La₄.
Indication : utiliser fn = f0 × 2n/12 avec n = −3.
f = 440 × 2−3/12 = 440 × 2−0,25 = 440 × 0,8409 ≈ 370 Hz
Vérifier que la fréquence du La₅ vaut bien le double du La₄ en appliquant la formule avec n = 12.
f = 440 × 212/12 = 440 × 21 = 440 × 2 = 880 Hz ✓
Les fréquences de la gamme tempérée forment-elles une suite arithmétique ou géométrique ? Justifier, et identifier la raison.
C'est une suite géométrique : on passe d'un demi-ton au suivant en multipliant toujours par le même facteur r = 21/12 ≈ 1,0595. Ce n'est pas une suite arithmétique (on n'ajoute pas la même valeur à chaque fois).
Un violoniste joue un La à 440 Hz. Un second instrument joue un La à 442 Hz. Quelle est la fréquence des battements entendus ? Exprimer le résultat en Hz.
fbattements = |f₁ − f₂| = |440 − 442| = 2 Hz
On entend 2 "pulsations" sonores par seconde.